مدخل إلى جبر المنطق

أقسامه :

المتحول و التابع :

إن مفهوم التابع والمتحول ليس بالجديد فالعلاقة y=f(x) تعبر عن ارتباط قيمة التابع y بقيمة المتحول x فيحدد القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتحول والتي يمكن إن تختلف اختلافا كبير فمثلا يمكن أن تتراوح ما بين +? و - ? أو ما بين – 20 و + 20 أو أن تكون محصورة بين مجال الأعداد الصحيحة الموجبة من 15 إلى 30 فقط ............. وعندما تكو ن القيم التي يأخذها المتحول محدودة يمكن في كثير من الأحيان تعريف التابع باستخدام جدول يحتوي على قيم xوقيم y المقابلة لها كما هو مبين بالجدول :

محتويات
1 x .... (y = f(x
2 x .... (Y=f(x
3 A .... (Z=F(A
4 A .... (Z=F(A
5 A .... (Z=F(A
6 A .... (Z=F(A
7 A .... (Z=F(A
8 A .... (Z=F(A
9 من أنواع البوابات المنطقية
10 x .. y
11 x1 ... x0 ... y
12 x1 ... x0 ... y
13 x1 ... x0 ... y


x .... (y = f(x
0 .... 5

1 .... 9

2 .... 13

3 .... 17

ليست مفاهيم السابقة مخصصة فقط للحالات التي يأخذ فيها المتحول أو التابع قيما عددية إنما يمكن تعميمها لتشمل أي حالة أخرى وفي هذه الحالة تعطي العلاقة ما بين المتحول X و التابع Y بالجدول :
x .... (Y=f(x
أخضر .... تابع السير

برتقالي .... خفف السير

أحمر .... توقف

المتحولات المنطقية :

يعرف المتحول المنطقي بأنه متغير يأخذ إحدى قيمتين ممكنتين فقط .

ويشترط في هاتين القيمتين أن تكونا متضادتين حتما . كما يشترط في تعريف التابع المنطقي تحديد قيم المتحول بشكل صريح كما تم ذلك بالجدولين السابقين.

إن التعريف السابق للمتحول المنطقي لا يمنع من إعطاء هذا المتحول قيم عددية فمثلا يمكن للمتحول x أن القيمتين التاليتين كما يعبر عنهما كما يلي :

( قيمة X هي 7 ) أو ( قيمة X هي 13 )

بشكل عام يمكن القول أن المتحولات يمكن أن تمثل أي شيء فمثلا يمكن أن يمثل المتحول x أو y الحرارة أو الضغط أو المسافة أو التسارع أو الزمن ....

عندما ندرس العلاقة التابعية ما بين المتحولات y=3x+5 يتم الحصول على y=11 من أجل x=2 بشكل مستقل عما يمثله xأو y.

كذلك المر إذا أطلق على قيمتين ممكنتين للمتحول المنطقي اسمين معينين أمكن دراسة هذا المتحول بشكل مستقل عما يمثله.

نظرا لأن التعامل منذ الآن سيتم مع المتحولات المنطقية فقط فنستخدم الحرف A للإشارة إلى المتحول دائما
والحرف z للإشارة للتابع ولاستخدام هذه الرموز يمكن التعبير عن العلاقة التابعية ما بين لون الضوء واستجابة السائق في مثال إشارة المرور كما هو مبين بالجدول :

A .... (Z=F(A
أخضر .... تابع

أحمر .... قف

إذا خصصت القيمة (A=t) بالتصريح (الضوء أحمر )فهذا سيؤدي حتما إلى كون العلاقة (A=f) تمثل التصريح (الضوء أخضر )وبشكل مشابه إذا خصصت القيمة Z=T مكن تمثيل العلاقة التابعية ما بين ضوء الشارة باستجابة السائق باستخدام الجدول التالي المسمى الجدول الحقيقة :

A .... (Z=F(A
F .... T

T .... F

سيتضح بعد قليل أن هناك أكثر من جدول حقيقة واحد لأي علاقة تابعية ففي المثال الحالي إذا تم تغيير القيم المخصصة لكل من A أو Z بحيث تغطي جميع الحالات الممكنة على جدوا ل الحقيقة الأربعة

A .... (Z=F(A
F .... F

T .... T

A .... (Z=F(A
F .... T

T .... F
A .... (Z=F(A
F .... F

T .... F
A .... (Z=F(A
F .... T

T .... T

وللتأكد من عدم ترك أي حالة ممكنة نتبع الطريقة التالية :

1- نضع في العمود A القيمتين الممكنتين (F) و (T) .

2- نحسب عدد التركيبات الممكنة لقيم العامود (Z) .

في المثال الحالي هناك موضعان من العامود (Z) يمكن إدخال قيمتن مخلفتين في كل منهما لذا تبلغ عدد تركيبات الممكنة لقيم العامود (Z) (4=2x2) وهذا العدد مطابق لعدد الجداول

التابع المنطقي لمتحولين Z=f (A,B) :

لدراسة التوابع Z=f(A,B) لمتحولين نشكل أولا جداول الحقيقة لكل من هذه التوابع . وبما أنه يوجد متحولان A و B فهناك أمكانية لتشكيل أربعة تركيبات . بترتيب هذه التركيبات ضمن صفوف

لإيجاد أي تابع من نوع Z=f(A,B) يكفي الآن ادخال قيم محددة في العامود (Z) وبما أنه توجد أربعة مواضع وفي كل موضع يمكن ادخال قيمتين هناك أمكانية لتشكيل ( 2x2x2x2=16) عامودا (Z) وبالتالي تشكيل (16) تابعا مختلفا . هذا وقد تم أظهار هذه التوابع في الجدول حيث تم تبديل أماكن الصفوف والأعمدة مع بعضها .
من أنواع البوابات المنطقية
بوابات منطقية

كما أشرنا إلى ذلك سابقا فإن البوابات المنطقية تشكل عناصر البناء الأساسية للدوائر الرقمية. فيما يلى سيتم الحديث بعجالة عن أهم

البوابات المنطقية. للمزيد من التفاصيل عن طريقة عمل مختلف البوابات يمكنك زيارة المقالات تحت الرابط. ولشرح وظيفة مختلف البوابات
المنطقية سنستخدم دالة ربطها وجدول الحقيقة.
بوابة النفي (ليس) (إنجليزي: NOT)

بوابة النفي (أيضا بوابة ليس) هي أبسط وظيفة منطقية رقمية. وتتوفر على مدخل واحد فقط. المخرج يقلب الحال المنطقي للمدخل.

(نقرأ: y ليست x)
جدول الحقيقة

x .. y
0 .. 1

1 .. 0

بهذا فالمخرج هو تكملة المدخل.

بوابة و (AND)

بوابة و (الربط بين الأسلاك يتم عن طريق "بوابة و" و يطلق على ذلك اسم العطف) هي أيضا من العناصر الهامة في منطق الدوائر. خلافا

لبوابة ليس تتوفر بوابة العطف على الأقل على مدخلين تقوم بمقارنتهما. وهكذا فإن دالة الربط تختلف عن دالة ربط بوابة ليس:

جدول الحقيقة
x1 ... x0 ... y
0 ... 0 ... 0

0 ... 1 ... 0

1 ... 0 ... 0

1 ... 1 ... 1

للحصول على القيمة المنطقية 1 في المخرج y يجب أن يكون المدخلين كلاهما تحت القيمة المنطقية 1.

بوابة أو (OR)

تتوفر بوابة أو أيضا على الأقل على مدخلين تقوم بمقارنتهما (ربط الأسلاك عن طريق بوابة أو يطلق عليه اسم الفصل). وعلى خلاف بوابة و تعقب القيمة المنطقية 1 في المدخل تلقائيا القيمة المنطقية 1 في المخرج.


جدول الحقيقة

x1 ... x0 ... y
0 ... 0 ... 0

0 ... 1 ... 1

1 ... 0 ... 1

1 ... 1 ... 1

للحصول على القيمة المنطقية 1 في المخرج y يجب أن يكون أحد المدخلين أو كلاهما تحت القيمة المنطقية 1.

بوابة أو الإستثنائية (XOR)

على عكس بوابة أو يجب أن تتوفر بوابة أو الإستثنائية على مدخل واحد فقط تحت القيمة المنطقية 1 لكي يشير المخرج إلى القيمة المنطقية 1.


جدول الحقيقة

x1 ... x0 ... y
0 ... 0 ... 0

0 ... 1 ... 1

1 ... 0 ... 1

1 ... 1 ... 0

ليس و - ليس أو - ليس أو استثنائية (NAND - NOR - XNOR)

بوابة ليس و تتكون من "بوابة و" تليها "بوابة ليس". بموجب ذلك فإن بوابة ليس أو هي بوابة أو وتليها بوابة ليس، وبوابة ليس أو

استثنائية هي بوابة أو استثنائية وتليها بوابة ليس. بواسطة بوابة ليس و و بوابة ليس أو وبالربط المناسب فإنه يمكننا تقليد كل

البوابات المنطقية الأخرى.